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建立維納測度
維納是第一個從數(shù)學上深刻地研究布朗運動的數(shù)學家。
1921年，他用函數(shù)空間的點來表示作布朗運動的粒子的路徑，并證明，所有這些路徑除了概率為O的集合外，都是連續(xù)但又不光滑即幾乎處處不可微的。他運用勒貝格積分計算了這些路徑上函數(shù)的平均值。1923年，維納第一次給出隨機函數(shù)的嚴格定義，證明可以是布朗運動的理論模型。
維納從樣本路程的觀念出發(fā)，研究“路徑”的集合，引進維納測度，揭示了連續(xù)而不可微函數(shù)的物理特征，故布朗運動又稱維納過程。維納的工作對于概率是極富成效的。它不僅給老問題注入了新生命，更重要的是開辟了嶄新的研究領域，揭示了概率論和其他數(shù)學分支之間引人注目的聯(lián)系。維納的這項研究可以說是現(xiàn)代概率論的開創(chuàng)性工作。現(xiàn)在把定義在連續(xù)函數(shù)空間的一種描述布朗運動的測度稱為維納測度，關于這個測度的積分稱為維納積分。后來，日本數(shù)學家伊藤清在此基礎上發(fā)展了隨機積分論。
引進巴拿赫—維納空間：
1920年，維納將法國數(shù)學家弗雷歇關于極限和微分的廣義理論推廣到矢量空間，并給出了一個完整的公理集合。
維納的結果與幾個星期以后發(fā)表在波蘭數(shù)學期刊上的巴拿赫的論文不謀而合，廣義的程度也分毫不差。巴拿赫構想和發(fā)表他的理論比維納早幾個月，但兩者的獨立程度是一樣的。故這兩項工作一度被稱為巴拿赫一維納空間理論。維納在短時間里繼續(xù)發(fā)表了有關這方面的成果，為馮諾依曼1927年提出希爾伯特空間以及希爾伯特空間中的算子的公理方法提供了基礎。后來維納逐漸離開了這個領域，但他對泛函分析這一20世紀產生和蓬勃發(fā)展的新興數(shù)學分支所作出開拓性工作己載入數(shù)學史冊。
闡述位勢理論：
1923～1925年，維納對位勢理論作出基本的貢獻。對于給定連續(xù)邊值函數(shù)的狄利克雷問題，得出了確切的廣義群。對于一般的緊集定義容度概念，并給出著名的正則性判據(jù)。早先關于一個區(qū)域內部的電磁勢的概念認為，它應當同邊界上給出的那些值完全一致。維納遵照他業(yè)已研究過的類似于廣義積分的概念，注意到一個區(qū)域內部的勢可以被看作是由邊界周圍的勢的線性組合決定，即使按照這個定義在接近邊界點時不能給出一個連續(xù)函數(shù)邊界。這是一個嶄新的概念，維納由此大大地擴展了位勢理論的許多概念，包括電荷和電容的概念。 這一成果的意義在于，新理論認為，一個內點的勢與邊界值的關系是一種廣義積分，而不是由一種將這些內部勢與邊界上的勢結合起來的極限過程。這就把原有關于邊界問題的觀點顛倒了過來。就象數(shù)學上曾經有過的多次觀點顛倒一樣，重新闡述位勢理論給多年來被一種過于因循守舊的論點弄得死氣沉沉的局面吹進了一股清新的空氣。
發(fā)展調和分析
為了給亥維賽計算法建立一個扎實的邏輯基礎，維納走上了調和分析的新道路。1926年初他發(fā)表了這方面的第一篇論文，此后五年的工作以一篇廣義調和分析的長文而達到頂峰。維納從物理學借來函數(shù)作為調和分析的鑰匙，而后又把它同通訊理論聯(lián)系起來，把寫成傅立葉變換。他獲得了現(xiàn)在所說的光譜分布狀態(tài)。為了證明其中一個關鍵性的公式，維納在哈代和李特爾伍德的陶伯定理中提出了一種強有力的高度獨創(chuàng)的方法，即非零絕對收斂傅立葉級數(shù)的著名的反轉定理。這是一個具有統(tǒng)一數(shù)學抽象意義的驚人例子。維納在這方面的成果后來成為巴拿赫代數(shù)理論的基礎，并由此導出諸如素數(shù)定理等結果。
發(fā)現(xiàn)維納—霍普夫方法
1930年前后。維納與天文學家霍普夫合作，共同研究一類給定在半無窮區(qū)間上的帶差核的奇異積分方程。此類方程現(xiàn)在被稱為維納—維普夫方程。維納推廣了霍普夫關于輻射平衡態(tài)的研究，于1931年得出其求解方法。其基本思想是通過積分變換，將原方程化為一個泛函方程，然后再用函數(shù)因子分解的方法來求解，因此維納—霍普夫方法又稱因子分解法。它已成為研究各種數(shù)學物理問題的一種常用方法。維納創(chuàng)造性地說明，維納—霍普夫方程最引人注目的應用表現(xiàn)在兩種進程間的分界是時間上的而非空間的，這正是在預測理論的某些方面可應用的非常適當?shù)墓ぞ摺ＫM一步指出，還有許多關于儀器研究的更一般的問題可以用這種作用于時間的技術來解決。40年代以后，這一方程的理論在解析函數(shù)邊值問題、調和分析和算子理論的基礎上得到了系統(tǒng)的發(fā)展，其應用也從輻射問題擴展到許多其他領域，如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問題及入口理論等。
提出維納濾波理論
在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達噪聲濾波問題，維納綜合運用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時間序列的過去數(shù)據(jù)推知未來的維納濾波公式，建立了在最少均方誤差準則下將時間序列外推進預測的維納濾波理論。維納的這項工作為設計自動防空控制炮火等方面的預測問題提供了理論依據(jù)，并為評價一個通訊和控制系統(tǒng)加工信息的效率和質量從理論上開辟了一條途徑。它對自動化技術科學有重要的影響。維納在問題中引進統(tǒng)計因素并使用了自相關和互相關函數(shù)，事實證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時間區(qū)間內進行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的外平穩(wěn)過程，其應用范圍也擴充到更多的領域，至今它仍是處理各種動態(tài)數(shù)據(jù)（如氣象、水文、地震勘探等）及預測未來的有力工具之一。
開創(chuàng)維納信息論
維納是信息論的創(chuàng)始人之一。他從帶直流電流或者至少可看作直流電流的電路出發(fā)來研究信息論，獨立于申農，將統(tǒng)計方法引入通訊工程，奠定了信息論的理論基礎。維納把消息看作可測事件的時間序列，把通信看作統(tǒng)計問題，在數(shù)學上作為平穩(wěn)隨機過程及其變換來研究。他闡明了信息定量化的原則和方法，類似地用“熵”定義了連續(xù)信號的信息量，提出了度量信息量的申農—維納公式：單位信息量就是對具有相等概念的二中擇一的事物作單一選擇時所傳遞出去的信息。維納的這些開創(chuàng)性工作有力地推動了信息論的創(chuàng)立，并為信息論的應用開辟了廣闊的前景。信息論創(chuàng)立者申農說：“光榮應歸于維納教授”。
創(chuàng)立控制論
維納對科學發(fā)展所作出的最大貢獻，是創(chuàng)立控制論。這是一門以數(shù)學為紐帶，把研究自動調節(jié)、通信工程、計算機和計算技術以及生物科學中的神經生理學和病理學等學科共同關心的共性問題聯(lián)系起來而形成的邊緣學科。
1947年10月，維納寫出劃時代的著作《控制論》，1948年出版后，立即風行世界。維納的深刻思想引起了人們的極大重視。它揭示了機器中的通信和控制機能與人的神經、感覺機能的共同規(guī)律；為現(xiàn)代科學技術研究提供了嶄新的科學方法；它從多方面突破了傳統(tǒng)思想的束縛，有力地促進了現(xiàn)代科學思維方式和當代哲學觀念的一系列變革。現(xiàn)在，控制論已有了許多重大發(fā)展。
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