數(shù)學(xué)王子高斯有一句名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”；他又講：“數(shù)論是數(shù)學(xué)的王冠”。俄國(guó)數(shù)學(xué)家辛欽曾經(jīng)評(píng)論說(shuō)，哥德巴赫猜想是王冠上的一顆明珠。當(dāng)然，這個(gè)王冠上可能還有其它明珠。 哥德巴赫并不是職業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個(gè)喜歡研究數(shù)學(xué)的富家子弟。他于1690年生于德國(guó)哥尼斯堡，受過(guò)很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結(jié)交數(shù)學(xué)家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想――哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說(shuō)，他相信這個(gè)猜想是正確的，雖然他不能給出證明。
用當(dāng)代語(yǔ)言來(lái)敘述，哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容，第一部分叫做奇數(shù)的猜想，第二部分叫做偶數(shù)的猜想。奇數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)大于等于7的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。偶數(shù)的猜想是說(shuō)，大于等于4的偶數(shù)一定是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。
任何人看了這個(gè)猜想之后，都能發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)漂亮的猜想。本人認(rèn)為，一個(gè)好的猜想應(yīng)該具備以下四個(gè)條件。第一，它的表述應(yīng)該很簡(jiǎn)單，大凡智力正常的人一聽就能明白。我相信，小學(xué)四、五年級(jí)的學(xué)生都能明白哥德巴赫猜想的內(nèi)容。第二個(gè)條件，雖然表述很簡(jiǎn)單，但是這個(gè)猜想的證明斷然不能簡(jiǎn)單。第三點(diǎn)，一旦有了證明，這個(gè)證明一定是出人意料的。一個(gè)好的猜想的證明一定是有趣的，絕對(duì)不能像愚公移山一樣，天天重復(fù)同樣枯燥的工作，重復(fù)了上萬(wàn)年，才取得成功。第四點(diǎn)，這個(gè)猜想絕對(duì)不能是孤立的，任何孤立的猜想在數(shù)學(xué)中都沒(méi)有太大的意義。一個(gè)好的猜想的研究應(yīng)該可以提升到人類文化史的高度上來(lái)看，能夠帶動(dòng)其它相關(guān)領(lǐng)域，甚至是數(shù)學(xué)以外的學(xué)科的發(fā)展。具備上面這四點(diǎn)，那就是一個(gè)偉大的猜想。我個(gè)人認(rèn)為，哥德巴赫猜想就具備以上這四個(gè)條件。
給定一個(gè)猜想，人們可以用各種各樣的方法進(jìn)行研究。譬如，對(duì)于哥德巴赫猜想，有人可能用數(shù)手指頭的方法來(lái)研究，這人可能是小學(xué)生。有人想用打算盤的方法來(lái)研究，那這人可能是一個(gè)小店的會(huì)計(jì)兼出納。真正研究這個(gè)猜想，則需要可以看出數(shù)學(xué)的特性――數(shù)學(xué)是在所有科學(xué)當(dāng)中唯一能夠處理無(wú)窮的學(xué)科。我們不能用做實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)研究哥德巴赫猜想。計(jì)算機(jī)算得再快，也只能在有限時(shí)間內(nèi)算有限個(gè)數(shù)；然而，遺憾的是，奇數(shù)和偶數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)。所以，這個(gè)猜想讓迷信實(shí)驗(yàn)的人非常沮喪。不過(guò)，在最好的計(jì)算機(jī)所能算到的范圍之內(nèi)，哥德巴赫猜想全是對(duì)的。
相對(duì)來(lái)講，奇數(shù)的猜想比較容易，因?yàn)樗桥紨?shù)的猜想的推論。如果每個(gè)大偶數(shù)都能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，那么我們就能夠證明任何大奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和，因?yàn)槿魏纹鏀?shù)減去3都是一個(gè)偶數(shù)。 關(guān)于哥德巴赫猜想的研究，歷史上第一個(gè)重要文獻(xiàn)是哈代和李特伍德1921年的偉大論文，在這篇長(zhǎng)達(dá)70頁(yè)的文章里，他們提出了圓法。哈代在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)演講時(shí)說(shuō)：“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴(yán)肅地研究哥德巴赫猜想”，雖然此前很多有名的數(shù)學(xué)家都研究過(guò)這個(gè)猜想，甚至有人宣布證明了猜想。然而，哈代和李特伍德對(duì)奇數(shù)猜想的證明依賴于一個(gè)條件――廣義黎曼猜想――這個(gè)猜想到現(xiàn)在也未被證明。在英國(guó)人看來(lái)，哈代重振了牛頓以后的英國(guó)分析。
1937年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫（I．M．Vinogradov）無(wú)條件地基本證明了奇數(shù)的哥德巴赫猜想。維諾格拉朵夫定理指出，任何充分大的奇數(shù)都能寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。也就是說(shuō)，在數(shù)軸上取一個(gè)大數(shù)，從這個(gè)數(shù)往后看，哥德巴赫猜想都對(duì)；在這個(gè)數(shù)前面的奇數(shù)，需要用手或計(jì)算機(jī)來(lái)驗(yàn)證。然而，至今計(jì)算機(jī)還未能觸及那個(gè)大數(shù)。
維諾格拉朵夫的證明發(fā)表之后，又出現(xiàn)了幾個(gè)新證明。這些證明既簡(jiǎn)潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，有三個(gè)特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的：一個(gè)是俄國(guó)數(shù)學(xué)家林尼克（Yu．V．Linnik）的，再一個(gè)是潘承洞先生的；還有英國(guó)數(shù)學(xué)家沃恩（R．C．Vaughan）的。在相當(dāng)長(zhǎng)的一個(gè)階段內(nèi)，人們認(rèn)為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對(duì)哥德巴赫猜想進(jìn)行了深入的研究。與此同時(shí)，他還是一個(gè)很好的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家。
很遺憾，偶數(shù)的哥德巴赫猜想到現(xiàn)在都沒(méi)有得到證明。但是，數(shù)學(xué)家們從各個(gè)方向逼近這個(gè)猜想，并且取得了輝煌的成就。其中，命題（1＋2）的證明是陳景潤(rùn)先生完成的。 中國(guó)科技信息研究所加工整理 20030211
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