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第一章：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)

1.1 什么是數(shù)學(xué)危機(jī)

為了講清楚第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來龍去脈，我們首先要說明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。一般來講，危機(jī)是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。

數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，邏輯與直觀，具體對(duì)象與抽象對(duì)象，概念與計(jì)算等等。

在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。

矛盾的消除，危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

人類最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)。從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過斗爭：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算——除法，否則許多實(shí)際問題也不能解決。但是接著又出現(xiàn)了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數(shù)來表示?于是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)就導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而危機(jī)的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化。

方程的解導(dǎo)致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”�？墒沁@種不實(shí)的數(shù)卻能解決實(shí)數(shù)所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權(quán)利。

幾何學(xué)的發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學(xué)也是如此。

　

在十九世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規(guī)、直尺作圖來解決等等。

這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類認(rèn)識(shí)的深入。這種發(fā)現(xiàn)給這些學(xué)科帶來極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)學(xué)方面發(fā)展，而求解方程的根變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。

這種矛盾、危機(jī)引起的發(fā)展，改變面貌，甚至引起革命，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上是屢見不鮮的。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無窮的矛盾。數(shù)學(xué)中也一直貫穿著計(jì)算方法、分析方法在應(yīng)用與概念上清楚及邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用。而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家則提出批評(píng)。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致后，矛盾才能解決。后來算符演算及δ函數(shù)也重復(fù)了這個(gè)過程，開始是形式演算、任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。

對(duì)于第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，有人認(rèn)為只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)，與數(shù)學(xué)無關(guān)。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數(shù)理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因?yàn)槿绻豢紤]有限集合或至多是可數(shù)的集合，那絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。而且即便這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數(shù)論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是一次深刻的數(shù)學(xué)危機(jī)。